| C5. Решите уравнение f(f(-x2)) = f(x2), где f(t) = | |t|, если t ≥ -18 - 8(t + 1)-1, если t < -1 |
| 1) Распишем определение функции более подробно: f(t) = | 8 - 8(t + 1)-1, если t < -1-t, если -1 ≤ t < 0t, если t ≥ 0 |
| 2) Преобразуем выражение 8 - 8(t + 1)-1 = 8 - | 8t+1 | = | 8tt+1 | . |
3) Заметим ещё, что f(x2) = x2, так как x2 ≥ 0 при любом х.
4) Рассмотрим аргумент (-x2). Если х принадлежит отрезку [-1, 1], то -x2 ≥ -1, а значит, f(-x2) = x2.
При этих х исходное уравнение превращается в тождество f(x2) = x2. Отрезок [-1, 1] - часть ответа.
| 5) Если же х принадлежит лучу (-∞ -1) или лучу (1, +∞), то -x2 < -1 и значит, f(-x2) = | -8x21-x2 | > 0. |
| Т.к. новый аргумент положителен, то по определению f(t) получаем: f(f(-x2)) = f( | -8x21-x2 | ) = | -8x21-x2 | . |
| Исходное уравнение приобретает вид: | -8x21-x2 | = x2 | . Решая его, получаем три корня: -3; 0 и 3. |
Учитывая, что мы рассматриваем только лучи (-∞ -1) и (1, +∞), оставляем лишь два: -3 и 3.
6) Объединяя полученные результаты, получаем в итоге отрезок [-1, 1] и числа 3 и -3.
Ответ: -3; 3 и [-1, 1]
|
